Por que precisamos de matrizes?
Para muitas pessoas (inclusive eu), um dos motivos para perder a motivação para aprender algo novo é a pergunta sem resposta: por que preciso disso?
Com matrizes no núcleo das redes neurais e do aprendizado profundo, tentarei explicar em um pequeno texto a utilidade dessas coisas.
Por que precisamos de símbolos para números?
Em vez de usar os símbolos 1, 2, 3 e assim por diante, poderíamos contar coisas usando pontos ou qualquer padrão repetido como 1=*, 2=**, 3=*** etc. Boa ideia; com coisas contáveis na ordem de centenas ou milhares, isso não seria adequado ou razoável.
Por que precisamos de notações de função?
Podemos entender funções aproximadamente como regras que assumem um ou mais valores e retornam outro, como a função \(x^2\) que eleva ao quadrado cada valor que assume. As funções são frequentemente denotadas por \(f(x)\), então por que precisamos usar essa notação em vez da própria regra? Existem alguns motivos, mas um deles é semelhante ao motivo pelo qual usamos símbolos para representar números em vez de repetir padrões, porque muitas vezes a função pode ser tão grande que escrever e lidar com a coisa gigante sempre seria demorado e impraticável.
Por fim, por que precisamos de matrizes?
Trabalhar com matrizes é uma forma de lidar com muitos números ao mesmo tempo em espaço reduzido e de forma prática. Suponha que temos um sistema de equações:
\[\begin{align*} 2x + 3y + 4z &= 5 \\ 3x + 4y + 5z &= 6 \\ 4x + 5y + 6z &= 7 \end{align*}\]Podemos ver que tem um padrão de repetição, que para cada equação temos valores multiplicados por \(x\), \(y\) e \(z\). Com matrizes temos uma forma de escrever esse sistema sem repeti-los e de uma forma muito mais elegante:
\[\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{bmatrix}\]Com isso, adicionar mais uma equação ao sistema é uma questão de somar números à primeira e à última matriz, sem tocar na matriz \([ xyz ]\), pois eles ficam se repetindo. (Quem já fez intermináveis listas de exercícios de sistemas de equações sabe como é chato ficar escrevendo \(x, y, z\) repetidas vezes hehe)
As redes neurais geralmente usam muitos valores e operações, e anotar cada um deles seria impraticável, por isso precisamos de uma maneira de compactar as coisas tanto quanto possível para torná-las mais fáceis. As matrizes nos ajudam nisso.
Outras razões
Claro, estas não são as únicas razões para usar notações de funções e matrizes:
- Com estes podemos escrever teoremas e equações que generalizam para qualquer regra ou qualquer quantidade de valores.
- Outro bom motivo é que as matrizes são compatíveis com CPU/GPU; os computadores aproveitam as matrizes para acelerar o processamento de suas expressões.
Um ótimo recurso para aprender sobre matrizes e álgebra linear é esta série de vídeos do canal do youtube 3blue1brown: